泛函分析作为现代数学的一派，源于19世纪末期的法国，从揭示泛函与欧氏空间之间的内在联系开始，一直发展到今天。它涉及线性代数、复分析、微积分、拓扑学等多个数学分支，并以其深度和广度俘获了许多研究者的心。泛函分析的研究对象包含无限维向量空间、算子、函数空间等，而这些对象是十分抽象的，不易通过常规的观察方法来研究。
泛函分析提供了一种新的研究无限维向量空间的方法，试图从宏观和微观两个层面上，给出一个尽量全面的研究结论。泛函分析将研究重点放在无限维向量空间的结构、性质和变换等上面，尤其着重对一切连续线性算子的基本性质进行全面而深入的研究。正是这种方法，使得泛函分析得以清晰而深入地揭示了函数空间、微积分变分法等问题的本质规律。
